ماهو علم التوبولوجي Topology ؟

ما هو علم التوبولوجي ؟
الطوبولوجيا كلمة مترجمة من الكلمة الإنجليزية Topology ، و تنقسم كلمة التوبولوجي إلى مقطعين المقطع الأول ( Topo) التي تعود إلى أصليوناني إلى ( Topos ) و التي تعني”مكان” ( Place ) ، و المقطع الثاني هو (logy ) و التي تعود لأصل يوناني ( Logos ) و التي تعني “دراسة” (Study ) ، فلو قمنا بعملية ربط المعنيين في الكلمة ، لوجدنا أن التوبولوجي هو الهندسة الحديثة في دراسة جميع التراكيب والمكونات للفضاءات المختلفة .
إذن يعرف علم الطوبولوجيا :
هو أحد فروع علم الرياضيات و الذي يهتم في دراسة تراكيب و مكونات و خصائص جميع الفضاءات المختلفة ، بحيث تبقى هذه الخصائص متشابهه تحت عمليات التشكيل المتصلة ( Smooth Deformations ) دون أن يقوم بعملية تمزيق أو يترك فتحات في الإنتقال من أحدهما إلى الآخر و بالعكس أيضاً .
و كأن التعريف يخبرنا أن الهندسة التي يتعاملبها التوبولوجي ليست الهندسة التي نعرفها ، بل كأنها هندسة مطاطية ، و لكي يتضح المفهوم بشكل جيد ، لندرس الآتي :
من المعلوم لدينا أن المستوى الإقليدي في الهندسة الإعتيادية التي نعرفها ، أنه بإمكاننا أن نقوم بعملية نقل الأشكال من مكان إلى آخر عن طريق الإزاحة ، و بإمكاننا أيضاً أن نقوم بعملية دوران له و عكسه وقلبه ، و لكن لا نستطيع القيام بعملية ثني له أو القيام بعملية تمدد بشكل متصل .
مفهوم الهندسة المطاطية :
بشكل موجز أن الأشكال عبارة عن قطع من المطاط قابلة للثني و التمدد ، و كل شكلين أو أكثر بإمكاننا أن نحصل على أحدهما من الآخر وبالعكس يكونا متشابهين .
فمثلاً :
المثلث و الدائرة و المربع ، كلها أشكال موجودة في المستوى الإقليدي بخصائصها ، و نقول أن أحدهما كافىء الآخر إذا كان لهما نفس المساحة .
في الهندسة المطاطية جميع هذه الأشكال هي نفسها متشابهه ، فالدائرة هي نفسها المثلث ، و السبب يعود إلى أنه يمكن تشكل المثلث من الدائرة بثني محيط الدائرة و جعلها كزوايا للمثلث و بالعكس يمكن إعادة تشكل الدائرة من المثلث بعملية تمديد أضلاع المثلث إلى دائرة ، و هذا أيضاً ينطبق على المستطيل .
لاحظ أنه عندما قمنا بتشكل أحد هذه الأشكال من الآخر لم نقم بعملية قطع Cut لأحدها و لم نقم بعملية تزيق للشكل من جهة أيترك أي نقطة انفصال .و بالتالي في الهدنسة المطاطية ( التوبولوجي ) يكون الأشكال متشابهه إذا استطعنا الحصول على أحدهما من الآخر بعمليات متصلة و بالعكس . وبالتالي الدائرة لا تشابه الشكل الذي يشبه الرقم بسبب أنه يمكن الحصول عليه من قبل الدائرة و لكن في العكس لا يمكن ، بل سنحتاج إلى فصل منتصف رقم لم نحتاج إلى أي نقطة انفصال من الدائرة إلى الرقم ، و قيس عل ذلك بأمثلة عديدة .
نستطيع القول بأن الأشكال التي تشترك بنفسالعدد من الفتحات ( نقاط الإنفصال ) يكون كلاهما متشابه في الهدنسة المطاطية ، أيكلاهما يشتركان في نفس التوبولوجي ، و التي لا تحوي على أي فتحة تدعى مترابط بشك لبسيط Simply connectedspace.
التوبولوجي يدخل تقريباً في جميع فروع الرياضيات بلغته الخاصة و المميزة .
فروع علم التوبولوجي
يتفرع التوبولوجي لعدة فروع و هي :
1) التوبولوجي النقطية ( point-set Topology ) :
و هو الفرع الذي يهتم بالتوبولوجي العامة منناحية خصائص الفضاء من ناحية التراكيب كدراسة Compactness التراص و Connectedness ( الترابط ) .
2) التوبولوجي الجبرية ( Algebraic Topology ) :
و هو الفرع الذي يهتم بشكل عام في دراسة درجات الترابط من خلال التراكيب الجبرية ، مثل دراسة علم الهمولوجي ( Homology ) .
3) التوبولوجي الهندسية ( Geometric Topology ) :
و هو الفرع الذي يهتم في دراسة Manifolds ( بنية رياضية كل نقطة فيها لها جوار يكون هميومورفيك إلى الفضاء الإقليدي ) ( و يهتم بالأبعاد حسب أبعاد الفضاء الإقليدي ).
تأريخ التوبولوجي بشكل موجز
بدأ التفكير في التوبولوجي من خلال مشكلةأولير في المسألة المشهورة ” السبعة الجسور في مدينة كونسبريك” (Seven Bridges ofKönigsberg) ، و كانت ورقة أويلر عام
1736 أول نتيجة على الفضاء التوبولوجي .
أول من قدم مصطلح الطوبولوجيا هم الألمان باسم ” Topologie ” عام 1847 بواسطة جوهان بندكت ، و من ثم أظهر أصحاب التخصص في اللغة الإنجليزية أن كلمة Topologist هو كل شخص متخصص في التوبولوجي .
أما التوبولوجي الحديثة فتعمد بشكل قوي جداً على مفاهيم نظرية المجموعات التي أسست من قبل كانتور في أواخر القرن التاسع عشر.
قام عدة علماء بوضع تعاريف محددة له ، فقام العالم أسكولي و غيرهم بوضع أول تعريف للفضاء المتري الذي يعتبر حالة خاصة في التوبولوجي حالياً في سنة 1906 .
و بعدها قام العالم هاوسدورف بوضع تعريف له والذي يعرف حالياً بفضاء هاوسدورف المشهور جداً في سنة 1914. و لكن أتى العالم كزميرز كورتويسكي Kazimierz Kuratowski. سنة 1922 بوضع التعريف المعروف لدينا حالياً .
=======================================
تعريف الرياضي للتوبولوجي The Definition of Topology :
لتكن أي مجموعة ، و لتكن هي مجموعة التي جميع المجموعات الجزئية من و الي تدعى ( power set ) .
لنفرض أن ، فإذا كان لدينا :
1) حاصل اتحاد أي عدد من العناصر داخل يكون حاصل اتحادهم داخل .
بالرموز :
لتكن عائلة من المجموعات داخل فإن
2) حاصل تقاطع أي عائلة تضم عدد محدود من العناصر من داخل يكون حاصل تقاطعهم داخل .
بالرموز :
لتكن عائلة من المجموعات داخل فإن :
3) المجموعتان و داخل أي :
فإننا نقول أن عبارة عن توبولوجي على المجموعة .
و الزوج المرتب يدعى الفضاء التوبولوجي ( Topological Space ) .
تسمى عناصر بمجموعات مفتوحة ( Open Sets )، نشير إلى أن متممة المجموعة المفتوحة تكون مجموعة مغلقة في ( Closed set ) ، و قد تكون في فضاءات توبولوجية خاصة مجموعات تكون كلوبن ( Clopen Sets ) أي أنها مغلقة و مفتوحة في نفس الوقت ، و في أي فضاء توبولوجي المجموعتين دائماً تكون مجموعات كلوبن .
نشير إلى إشارة بسيطة بأن الشرط الثاني يمكن تبسيطه إلى ان تقاطع أي مجموعتين من عناصر يجب أن يكون حاصل تقاطعهم داخل ، و يكون الشرط الثاني المذكور في الأعلى عبارة عن تعميم عن طريق الإستقراء الرياضي ( الترجع ) .